Blog

Công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

8

Công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

Công thức tính tổ hợp là kiến thức quan trọng của toán lớp 11. Mời các bạn cùng tìm hiểu về những kiến thức toán học này trong bài viết dưới đây.

Công thức tổ hợp

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 ≤ k ≤ n). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

Công thức tổ hợp chập k của n

Bạn đang xem: Công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

C_n^k=frac{n!}{left(n-kright)!k!}=frac{A_n^k}{k!}

Công thức tính chất của tổ hợp:

C_n^0=C_n^n=1

C_n^k=C_n^{n-k} left(0le kle nright)

C_{n+1}^{k+1}=C_n^k+C_n^{k+1}, left(1le kle nright)

Ví dụ về tính tổ hợp

ví dụ 1: 

Một tổ gồm 12 học sinh. Có bao nhiêu cách:

a) Chọn ra 2 bạn đại diện cho nhóm

b) Chọn ra 2 bạn, rồi phân công chứ vụ tổ trưởng và tổ phó

c) Chia tổ thành 2 nhóm, trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm.

Lời giải

a) Chọn 2 bạn từ 12 bạn là tổ hợp chập 2 của 12: C122 = 66 cách.

b) Chọn 2 bạn rồi phân công chức vị là chỉnh hợp chập 2 của 12: A122 = 132 cách.

c) Chia tổ thành 2 nhóm tức mỗi nhóm có 6 bạn

Trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ trưởng trong 10 bạn còn lại: C105 = 252 cách.

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ phó trong 5 bạn còn lại: C55 = 1 cách.

Vậy có 252.1 = 252 cách.

Công thức chỉnh hợp

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 ≤ k ≤ n). Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp n chập k của A).

Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:

Công thức chỉnh hợp: A_n^k=frac{n!}{left(n-kright)!}

  • Một số quy ước: 0! = 1, An0 = 1, Ann = n!
  • Đặc điểm: Đây là sắp xếp có thứ tự và số phần tử được sắp xếp là k: 0 ≤ k ≤ n.

Ví dụ: 

Từ các chữ số từ 0 đến 9. Có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên sao cho:

a) Số có 6 chữ số khác nhau

b) Số có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 10

c) Số lẻ có 6 chữ số khác nhau.

Lời giải

a) Lập số có 6 chữ số khác nhau

Chọn chữ số đầu tiên từ các số từ 1 đến 9: có 9 cách chọn

Các chữ số còn lại là chỉnh hợp chập 5 của 9 số còn lại (khác chữ số đầu tiên) có A95

Vậy có 9A95 = 136080 số.

b) Số có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 10

Chọn chữ số hàng đơn vị: có 1 cách chọn là chữ số 0

Chọn các chữ số còn lại là chỉnh hợp chập 5 của 9 số còn lại (khác chữ số 0) có A95

Vậy có A95 = 15120 số.

c) Gọi số Chỉnh hợp là số lẻ có 6 chữ số khác nhau được lập từ chữ số 0 đến 9

Chỉnh hợp là số lẻ nên f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

Chọn f: có 5 cách chọn

Chọn a từ các chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}{f}: có 8 cách chọn

Chọn b, c, d, e là chỉnh hợp chập 4 của 8 chữ số còn lại (khác f và a): có A84

Vậy có 5.8A84 = 67200 số.

Hoán vị

a) Định nghĩa:

– Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

– Lưu ý: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

b) Số các hoán vị:

– Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử.

Công thức hoán vị:

Pn = n(n – 1)…2.1 = n!

Quy ước: 0! = 1; 1! = 1.

Ví dụ:  Xếp 10 bạn, trong đó có 5 bạn nam và 5 bạn nữ, vào một ghế dài. Có bao nhiêu cách xếp sao cho:

a) Xếp bất kì

b) Các bạn nam ngồi cạnh nhau

c) Các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ với nhau.

Lời giải

a) Số cách xếp 10 bạn vào một ghế dài là một hoán vị của 10: 10!

b) Xếp các bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép 5 bạn nam vào 1 “bó”: có 5! cách xếp bên trong “bó”

Rồi xếp 5 bạn nữ cùng 1 “bó” vào ghế dài có: 6! cách xếp.

Vậy có 5! . 6! = 86400 cách xếp sao cho các bạn nam ngồi cạnh nhau.

c) Giả sử xếp 10 bạn vào ghế dài có đánh số thứ tự từ 1 đến 10.

Để xếp xen kẽ các bạn nam và nữ

+ Trường hợp 1: Các bạn nam ngồi vị trí lẻ, các bạn nữ ngồi vị trí chẵn

Số cách xếp các bạn nam: 5!

Số cách xếp các bạn nữ: 5!

Do đó có 5! . 5! cách xếp.

+ Trường hợp 2: Các bạn nam ngồi vị trí chẵn, các bạn nữ ngồi vị trí lẻ

Tương tự như trường hợp trên ta có 5! . 5! cách xếp.

Vậy có 2 . 5! . 5! = 28800 cách xếp.

Các bạn có thể truy cập vào mục Giáo dục, học tập của Trường Trung cấp Bách Nghệ TP.HCM để tìm hiểu thêm về các công thức toán học khác nhé.

Đăng bởi: Trường Trung cấp Bách Nghệ TP.HCM

Chuyên mục: Tổng hợp

0 ( 0 bình chọn )

Doki

https://doki.vn
Doki giúp bệnh nhân dễ dàng lựa chọn và đặt lịch khám với bác sĩ chuyên khoa giỏi từ đó tăng hiệu quả khám chữa bệnh và giảm thời gian chờ khám

Ý kiến bạn đọc (0)

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Bài viết liên quan

Bài viết mới

Xem thêm